Regla del producto en Probabilidad para eventos independientes

Definiciones

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. 

Es decir, son aquellos eventos cuyo resultado no tienen que ver con el resultado de otro(s) evento(s).

Por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del resultado de ninguno de los lanzamientos anteriores. Por lo tanto, cada lanzamiento es un evento independiente

Regla del producto:

Por lo anterior, Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

         P(A y B) = P(A) · P(B)

Ejemplo 1:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. 

¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Solución:

Ya que la primera canica es reemplazada (es decir se saca y se vuelve a meter la misma canica u otra del mismo color), el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda, así los eventos son independientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

                             

Otros ejemplos ilustrativos

1) De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un Rey en la segunda extracción. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey en dos extracciones devolviendo la carta extraída.

Solución:

A y B son sucesos independientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.

La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

Reemplazando los anteriores valores en la regla particular de la multiplicación se obtiene:

2) Una pareja de esposos desean tener 3 hijos. Suponiendo que las probabilidades de tener un niño o una niña son iguales, calcular la probabilidad de éxito en tener hombre en el primer nacimiento, mujer en el segundo nacimiento y hombre en el tercer nacimiento.

Solución:

M = mujer

H = hombre

Elaborando un diagrama de árbol se tiene todas las probabilidades:

Entonces,

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