Regla del producto en Probabilidad para eventos independientes

Definiciones

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. 

Es decir, son aquellos eventos cuyo resultado no tienen que ver con el resultado de otro(s) evento(s).

Por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del resultado de ninguno de los lanzamientos anteriores. Por lo tanto, cada lanzamiento es un evento independiente

Regla del producto:

Por lo anterior, Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

         P(A y B) = P(A) · P(B)

Ejemplo 1:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. 

¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Solución:

Ya que la primera canica es reemplazada (es decir se saca y se vuelve a meter la misma canica u otra del mismo color), el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda, así los eventos son independientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

                             

Otros ejemplos ilustrativos

1) De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un Rey en la segunda extracción. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey en dos extracciones devolviendo la carta extraída.

Solución:

A y B son sucesos independientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.

La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

Reemplazando los anteriores valores en la regla particular de la multiplicación se obtiene:

2) Una pareja de esposos desean tener 3 hijos. Suponiendo que las probabilidades de tener un niño o una niña son iguales, calcular la probabilidad de éxito en tener hombre en el primer nacimiento, mujer en el segundo nacimiento y hombre en el tercer nacimiento.

Solución:

M = mujer

H = hombre

Elaborando un diagrama de árbol se tiene todas las probabilidades:

Entonces,

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https://www.youtube.com/watch?v=G-TUFDK8jOU

https://www.youtube.com/watch?v=JyBGhhGY4o4

Desviación media y Rango de un conjunto de datos estadísticos.

Las medidas de dispersión (como la desviación media y el Rango), también llamadas de variabilidad, nos informan sobre cuánto se alejan del centro (media aritmética) los valores de un conjunto de datos.

Cuanto más alejados del centro, mayor será la variabilidad, lo cual en términos prácticos indica que los datos están muy alejados entre sí (muy dispersos).

Por el contrario entre más cerca del centro estén, significa que los datos están muy cercanos entre sí. 

Cuando una distribución de datos tiene poca dispersión toma el nombre de distribución homogénea y si su dispersión es alta se llama heterogénea.

Desviación media

También se le conoce como desviación media absoluta. Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones. (Y dichas desviaciones son el resultado de restar cada valor respecto a la media).

La desviación media se calcula con la formula:

Ejemplo:  Calcular la desviación media para los siguientes datos:

2, 9, 10, 2, 3, 1,9,9,1,4

a)   Calculamos el promedio y obtenemos que es igual a 5.

b)   Se obtiene el valor absoluto de la diferencia de cada dato y el promedio y se suman los resultados, es decir: 

c)  Finalmente, el resultado anterior (34)  se divide entre 10, así la desviación media (DM) de los datos es 3.4

Ahora te invito a que des click en el siguiente enlace para acceder a mas información y ejemplos sobre desviación media y rango.

https://www.youtube.com/watch?v=IppiARlHhzo
https://www.youtube.com/watch?v=Sqk8NVK3J-o

Solución de ecuaciones cuadráticas por medio de la formula general

Recordemos que una ecuación cuadrática, es una expresión algebraica que sigue la siguiente estructura:

En tal ecuación a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.

La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes

Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

		En esta a=2, b=5 y c=3
		Aquí hay una un poco más complicada: ¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2" b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.
		¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

¿Qué tienen de especial?

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

	El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!
	La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta: si es positivo, hay DOS soluciones si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .

Solución aplicando la formula general

Para resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado, sólo substituye los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Recuerda, la fórmula general cuadrática es:  x = [ -b ± √(b²-4ac) ] / 2a

Y por otro lado, los coeficientes en la ecuación:  a = 5, b = 6, c = 1

Ahora sustituye a,b,c en la formula y tenemos: x = [ -6 ± √(6²-4×5×1) ] / 2×5

Resolviendo operaciones: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Y entonces tenemos como respuesta: x1 = -0.2  y x2 = -1

Comprobación:
5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0
5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0.

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas	Qué hacer	En forma estándar	a, b y c
x2 = 3x -1	Mueve todos los términos a la izquierda	x2 - 3x + 1 = 0	a=1, b=-3, c=1
2(x2 - 2x) = 5	Desarrolla paréntesis	2x2 - 4x - 5 = 0	a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3	Desarrolla paréntesis	x2 - x - 3 = 0	a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x2 = 0	Multiplica por x2	5x2 + x - 1 = 0	a=5, b=1, c=-1

Otro ejemplo resuelto: Encontrar las raíces para  2x² + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2,     b = 3   y     c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

  y también      

Así es que las soluciones son .

Ahora te invito a que des click en el siguiente enlace para acceder a mas información y ejemplos sobre solución de ecuaciones cuadráticas por formula general.
https://www.youtube.com/watch?v=sdWh5CnYIX4
http://conteni2.educarex.es/mats/11979/contenido/
Nota: A veces las paginas tardan un poquito en abrir...ten paciencia...te aseguro que vale la pena.!

Regla de la suma o adición en probabilidad

La regla de la suma en probabilidad, aplica para 2 o mas eventos cuya principal característica es que sean mutuamente excluyentes. Pero, ¿Y que significa eso?

Por lo tanto:

Ejemplos ilustrativos

1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un Rey de corazón rojo en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos mutuamente excluyentes porque no es posible obtener ambos a la vez.

Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla particular de la adición de probabilidades para eventos mutuamente excluyentes se obtiene:

2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número impar o con un número múltiplo de 4?

Solución:

O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

3) De una tómbola que contiene 3 bolas rojas, 5 blancas y 4 azules, Mathías extrae una bola, calcular la probabilidad de que la bola extraída sea:

3.1) Roja o Blanca (R o B)

O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

3.2) Roja o Azul (R o A)

O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

3.3) Blanca o Azul (B o A)

O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

Los cálculos realizados en Excel se muestran en la siguiente figura:

Ahora te invito a que des click en los siguientes enlaces para acceder a vídeos con mas información y ejemplos sobre la regla de la suma o adición en Probabilidad

https://www.youtube.com/watch?v=GVHidC7dDuA

https://www.youtube.com/watch?v=C5nZ3XIfQ88

Teorema de Pitagoras

 

Breve reseña histórica y Definición                                                                        

Pitágoras nació en la isla de Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el 469 a. C., hijo de Mnesarco. Fue discípulo de Tales  y de Fenecidas de Siria, estudió en la escuela de Mileto. Viajó por Oriente Medio (Egipto y Babilonia). Sufrió el exilio para escapar de la tiranía del dictador Samio Polícrates, por lo que vagabundeó hasta establecerse  en el 531 a. C. en las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela pitagórica en Crotona al sur de Italia. Se cree que inventó (si no él sus discípulos), las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido Teorema de Pitágoras sobre la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque ya los egipcios y los babilonios lo usaban en sus cálculos, construcciones, etc..., pero sin haberlo demostrado.

Precisamente Pitágoras descubrió y demostró un hecho asombroso sobre triángulos.

Si un triángulo tiene un ángulo recto (90°)...y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces…¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!  

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbelo como una ecuación:

a2 +

Y ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

Aplicaciones en la vida real

1.- La altura de un arco de fútbol reglamentaria es de 2,4 metros y la distancia desde el punto penal hasta la linea de gol es de 10,8 metros.
¿Qué distancia recorre una pelota que se lanza desde el punto penal y se estrella en el punto central del travesaño?

Como se observa en el gráfico se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2,4 metros y 10,8 metros. En consecuencia debemos calcular la hipotenusa:

Por lo tanto, la distancia que recorre la pelota es de 11,06 metros aproximadamente.

2.- Originalmente la pared lateral de la Torre de Pisa media 50 metros sin contar la cúspide. Desde su construcción se inclino 4 metros.
¿Cuál es la altura desde el piso hasta el extremo superior de la pared lateral?

Antes de comenzar, analicemos el siguiente gráfico:

Como vemos, debemos calcular la hipotenusa, para ello hacemos:

Por lo tanto, la altura desde el piso hasta el extremo superior de la pared lateral es de aproximadamente 49,84 metros.

Ahora te invito a que des click en los siguientes enlaces para acceder vídeos con mas información y ejemplos sobre el Teorema de Pitagoras.

https://www.youtube.com/watch?v=1er3cHAWwIM
https://www.youtube.com/watch?v=ALIZjjF-h4M
https://www.youtube.com/watch?v=K4xmY9NJwbk
https://www.youtube.com/watch?v=edN40DAZopQ