Transformaciones Isométricas

Una transformación isométrica es cualquier movimiento donde NO se altera ni la forma ni el tamaño de una figura. Es decir, sólo cambia la posición de dicha figura (su orientación o sentido). 

Las transformaciones isometricas mas comunes (inclusive en nuestras actividades cotidianas) son las siguientes:

• Traslación
• Rotación
• Simetria axial
• Simetria central
• Teselados o mosaicos

Ahora te invito a que des click en los siguientes enlaces para acceder vídeos con mas información y ejemplos sobre transformaciones Isométricas.

https://www.youtube.com/watch?v=UiSpAsdrh-Y

https://www.youtube.com/watch?v=qn-Nm98b-qA

https://www.youtube.com/watch?v=zlM-m7Y-o6A

https://www.youtube.com/watch?v=pXeWlWPM4xY

https://www.youtube.com/watch?v=HnLnbE0U6kY

https://www.youtube.com/watch?v=vTu--S_vDwk

Ecuaciones cuadráticas por el método de Factorizacion

En esta ocasión hablaremos de ecuaciones cuadráticas con la forma x² +bx + c = 0  y uno de sus métodos para resolverlas, llamado método de factorización:

Explicaremos dicho método utilizando la siguiente ecuación: x² + 7x + 10 = 0  

Paso 1.- Sacamos la raíz cuadrada al término x² (la cual es x) y este resultado se pone como primer término en cada binomio dentro de los paréntesis

( x       )  (x       ) = 0

Paso 2.- Buscamos dos números que cumplan la doble condición:

• que sumados den el término lineal, ósea 7 

• y multiplicados den el término independiente, ósea 10

Dichos números son: 5 y 2,...¿por que?...pues porque 
(5)(2) = 10

5+2 = 7

Por lo tanto,  los binomios dentro de los paréntesis quedarían como: (x+2)(x+5) = 0

Paso 3.- Igualamos cada paréntesis a cero y despejamos la x, para obtener las soluciones X₁  y  X_{2 ...por lo tanto:}

X + 2 = 0

X = 0 – 2  (EL DOS PASO RESTANDO POR QUE ESTABA SUMANDO)

X =-2

X₁ = -2

Ahora encontremos el valor de X2 

X + 5 = 0

X = 0 -5

X = -5

X2  = -5

Si quisieras comprobar solo sustituye los valores de X en la ecuación original

x² +7x + 10 = 0

Ahora te invito a que des click en el siguiente enlace para acceder a un vídeo con mas información y ejemplos sobre el método de factorizacion.

https://www.youtube.com/watch?v=dXakJkBRpqM

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Estudio estadístico y diseño de una encuesta o experiemento

Un estudio estadístico es un conjunto de actividades destinadas a recolectar, organizar, resumir y analizar datos, referentes a un tema especifico, para después obtener y presentar conclusiones a partir de ellos.

Pasos que se realizan cuando se hace un estudio estadístico:

1. ¿Qué se quiere conocer con ese estudio estadístico?.
2. Elección de la variable que se va a estudiar.
3. Recolección de datos.
4. Organización de datos: tabla de frecuencias y representación gráficas.
5. Cálculo de parámetros estadísticos.

"Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones". Levin & Rubin.

"Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para representarla". Murria R. Spiegel.

Para obtener información confiable en un experimento o estudio estadístico, es conveniente reflexionar sobre los procedimientos y herramientas que se utilizaran para recopilar, organizar y representar los datos que se obtengan en cada etapa que conforma al experimento o estudio en cuestión.

Los estudios estadísticos nos permiten investigar sobre diversas situaciones o fenómenos.

Por medio de un estudio estadístico adecuado, lo mismo podemos conocer los efectos que provoca una determinada sustancia en los seres vivos, que el comportamiento del mercado ante un determinado producto o servicio así como, conocer las preferencias de un determinado grupo o sector.
Como lo mencionamos anteriormente, una fase importante del estudio, dado que es el inicio, es determinar cuál es la pregunta o el problema que se quiere estudiar y la manera en que se obtendrán los datos.


Por ejemplo:

a) ¿Cuál de las encuestas anteriores utilizarías para obtener datos con los que puedas analizar los siguientes temas? 

*Nivel de aprovechamiento y desempeño de los estudiantes.
*Intereses e inquietudes de los estudiantes en su escuela.
*Hábitos de estudio de los estudiantes de secundaria.
*Preferencia acerca de las materias que cursan los estudiantes.

Justifica tu respuesta.
b) De acuerdo con lo que anotaste en el inciso anterior, si se pretende estudiar los intereses e inquietudes de los estudiantes, ¿será suficiente con los datos que se obtengan de las dos preguntas de la encuesta que elegiste? ¿Por qué?

c) ¿Qué tipo de respuestas se pueden obtener al realizar la encuesta B? Anota algunos ejemplos de posibles respuestas.

d) Si se quiere recopilar datos para investigar sobre los hábitos de estudio de los estudiantes de secundaria, ¿qué otras preguntas consideras sería necesario incluir en la encuesta?
¿Por qué es importante hacer las preguntas que sugieres?

e) Si el tema que se pretende estudiar comprende intereses e inquietudes de los estudiantes. ¿Cuáles esperas que sean los de tus compañeros?


Recuerden que:
En general, los datos que se obtienen en un estudio o experimento pueden ser de dos tipos, 
cualitativos (por ejemplo, el color de cabello, ojos o piel) o cuantitativos (por ejemplo, la edad, el peso y la estatura de una persona).

En ambos casos se pueden organizar en tablas de frecuencia absoluta, relativa o porcentaje.

Cuando el conjunto de datos es cuantitativo y grande se puede organizar
en tablas de datos agrupados en intervalos.

Recuerden también que:
Una gráfica de barras se utiliza para presentar y comparar frecuencias con que ocurre una cualidad o atributo.

Una gráfica circular sirve para comparar qué fracción de un todo es cada parte.

Un histograma presenta datos agrupados en intervalos; cuando éstos son iguales, la altura de cada barra indica su frecuencia.

Un polígono de frecuencias también muestra la frecuencia absoluta, relativa o porcentaje de datos agrupados.

Una gráfica de línea presenta las variaciones en el tiempo.

Para saber mas referente a estudios estadísticos, tamaños de muestra y tener acceso a ejemplos, da click en los siguientes enlaces 

http://conteni2.educarex.es/mats/11829/contenido/

http://www.aularagon.org/files/espa/ON_Line/matematicas/Estadistica/CMMC4Pag1.htm

https://www.youtube.com/watch?v=md2q11OpBjk

http://www.youtube.com/watch?v=JKjZLElIUrA

Escala de la probabilidad. Eventos complementarios, eventos mutuamente excluyentes e independientes

La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:

• Al evento o suceso imposible le corresponde el valor 0

• Al evento o suceso seguro le corresponde el valor 1.

   La siguiente imagen gráfica nos ayudara a entender de manera mas especifica la escala de la probabilidad.

A continuación daremos la definición de algunos conceptos básicos usados en probabilidad.   

Experimento aleatorio: Es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Por ejemplo: el lanzamiento de un dado).

Espacio Muestral:  Se llama espacio muestral (E) al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Por ejemplo:

•  Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale águila, sale sol} o E = {A, S}  

• Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}   o  E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

•  Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)}.

Evento o Suceso: Se llama evento o suceso a cualquier RESULTADO obtenido al realizar un experimento aleatorio.

También se puede decir que es un subconjunto de un espacio muestral.

Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

·         Obtener un número primo,  A = {2, 3, 5}

·         Obtener un número primo y par,  B = {2}

·         Obtener un número mayor o igual a 5,  C = {5, 6}. 



Da click en las siguientes direcciones electrónicas para tener acceso a vídeos con mas información y ejemplos eventos mutuamente excluyentes, eventos complementarios y eventos independientes:

https://www.youtube.com/watch?v=sd133RlDLBA
https://www.youtube.com/watch?v=Sc7Iucx6rgc
https://www.youtube.com/watch?v=rfrWMkzoowQ

Relaciones de proporcion

La Proporcionalidad es la relación que se establece entre dos magnitudes medibles (x , y) para verificar si sus movimientos (valores) se atan (corresponden) a un número en común, llamado constante de proporcionalidad (k).

La proporcionalidad es una relación matemática muy usada en la vida cotidiana.

Existen dos tipos de proporcionalidad, la proporcionalidad directa y la inversa o indirecta.

• La proporcionalidad directa se determina cuando a un aumento en una de las magnitudes, le corresponde un aumento proporcional en la otra. 

Por ejemplo si la magnitud "x" aumenta 3 unidades su valor, la magnitud "y" aumentará respectivamente 3. 

Las distancias recorridas en un tiempo son un ejemplo que ilustran las proporcionalidades directas, por lo que a mayor velocidad se recorre más distancia. 

• En cambio para verificar la proporcionalidad inversa, debemos comprobar que a un aumento en una de las dos magnitudes le corresponda una disminución proporcional en la otra. Por ejemplo, si la magnitud "y" incrementa su valor 5 unidades, la "x" disminuirá 5 unidades.

Por ejemplo, cuantos más hombres trabajen en construir un edificio, menos tiempo les llevará terminarlo.

Recordemos lo que es la proporcionalidad:

La constante proporcional se expresa con la letra K.

En las proporciones directas, a la constante se le conoce también como cociente de proporcionalidad, y es: K = a/b

En las proporciones inversas, a la constante se le conoce también como producto de proporcionalidad, y es: K = a·b

Recordemos los tipos de proporcionalidad:

Para resolver los problemas de proporcionalidad recordemos:

Regla del tres.-  Es una herramienta matemática para resolver los problemas, en los que se conocen tres datos y se busca un cuarto.

Hay reglas del tres directa e inversa:

Regla del tres directa se usa en las proporciones directas; es igual a utilizar la propiedad fundamental de las proporciones, es decir el producto de los extremos es igual al producto de los medios, o sea se multiplican los valores en forma de equis (producto cruzado).

Regla del tres inversa se usa en las proporciones inversas; es igual a multiplicar los valores en forma lineal.

¿Todavía tienes dudas?...resolvamoslas con algunos ejemplos:

• Proporción directa

El mismo problema se puede resolver formando tabla de frecuencias:

Con regla del tres:

Con tabla de frecuencias:

Con regla del tres:

Con tabla de frecuencias:

Con tabla de frecuencias:

Con regla del tres:

Con regla del tres:

Con tabla de frecuencias:

Pasando a valor unitario:

• Proporción inversa

Da click a las siguientes direcciones electrónicas para tener acceso a vídeos con mas información y ejemplos sobre relaciones de proporcionalidad:

https://www.youtube.com/watch?v=PEi2_f6I2M4
https://www.youtube.com/watch?v=nzQRhYiVN5w
https://www.youtube.com/watch?v=pz7HiQOpOYc

Semejanza y congruencia de figuras

Definiciones  Generales:

Las figuras congruentes son aquellas que tienen misma forma y mismo tamaño.

Si dos figuras son congruentes sus lados homólogos son iguales y sus ángulos homólogos también son iguales.

Criterios de congruencia entre triángulos

Por favor accede a la siguiente dirección electrónica para ver algunos vídeos con la explicación a detalle y ejercicios complementarios sobre CONGRUENCIA

http://www.youtube.com/watch?v=nEEEEKAOao4

http://www.youtube.com/watch?v=FBeTFJUPxEA

Semejanza

Las figuras semejantes son aquellos que tienen misma forma pero diferente tamaño.

Si dos figuras son semejantes sus ángulos correspondientes son iguales

la razón de cada par de lados homólogos es constante; es decir sus lados son respectivamente proporcionales. (esto quiere decir que al dividir los lados homólogos uno entre el otro el resultado será el mismo)

Criterios de semejanza entre triángulos

Por favor accede a la siguiente dirección electrónica para ver el vídeo con la explicación a detalle y ejercicios complementarios sobre semejanza de triángulos:

http://www.youtube.com/watch?v=Gq1uyLpF_v0
http://www.youtube.com/watch?v=MZKO1qwnS4w

Tipos de ecuaciones cuadraticas

Por favor accede a la siguiente dirección para ver el vídeo con la explicación a detalle y ejercicios complementarios

https://www.youtube.com/watch?v=v1f91U_yRAg

¿Por que una ecuación cuadrática se iguala a cero?

Explicación

Para ayudar a entender porque una ecuación cuadrática se iguala a cero, por favor has click en el siguiente enlace, donde podrás observar la explicación a detalle.

https://www.youtube.com/watch?v=m1wCx7YxIsA

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado y sus métodos de solución

Por: Melissa Murrias  / Revisión: Dra. Luz M. Rivera  / Adaptó: Prof. Juan José Hernández

Definición:  Una ecuación cuadrática es una ecuación de forma  ax² + bx + c,  donde  a, b, y c son números reales. 

Ejemplos de ecuaciones cuadraticas:

Ø  9x² + 6x + 10    De esta ecuación podemos identificar que,  a = 9, b = 6, c = 10

Ø  3x²  - 9x             En este caso                       a = 3,  b = -9, c = 0

Ø  -6x ² + 10          Y para esta otra ecuación  a = -6, b = 0,  c = 10
  

¿Cuáles son las aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas?

Las ecuaciones cuadráticas tienen una gran variedad de aplicaciones en la física, la ingeniería y el diseño.

Dos características de la ecuación cuadrática que la hacen adecuada para aplicarse en el mundo real son 

• que su gráfica tiene una forma parabólica, es decir, algo similar al camino recorrido por un proyectil en vuelo

• que su potencia más alta sea 2, lo que la hace muy ventajosa para calcular áreas bidimensionales. (Recuerda que el área es igual al producto de dos dimensiones, por ejemplo el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura A= b*a) 

Como otros polinomios, las ecuaciones cuadráticas se utilizan también con frecuencia en el campo de los modelos matemáticos.

Las ecuaciones cuadráticas se utilizan también para calcular el área de figuras geométricas como rectángulos, círculos y triángulos. Los carpinteros y otros profesionales utilizan ecuaciones cuadráticas para optimizar el área de un espacio con perímetro o dimensiones determinadas.

Las ecuaciones cuadráticas también se aplican en los cálculos de proporciones simultáneas.

Por ejemplo, si dos impresoras que trabajan juntas pueden imprimir un documento de seis páginas en dos horas, y la segunda impresora sola tardaría una hora adicional para imprimir el documento, la ecuación para determinar la cantidad de páginas por hora de cada impresora es

(6 páginas / t horas)(2 horas) + (6 páginas / (t + 1 hora)) (2 horas) = 6 páginas. 
Para resolver esto con "t", debes convertir la ecuación anterior en la siguiente ecuación cuadrática: 

12t + 6 = 3t² + 3t.

Hay tres formas de hallar las raíces (o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 

1. Por factorización simple
2. Completando el cuadrado
3. Por fórmula cuadrática 

Da click al siguiente link para acceder a contenido en Internet donde podrás recibir de manera amena y sencilla una explicación mas a detalle sobre ecuaciones cuadráticas, su clasificación y métodos de solución. 

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html
http://conteni2.educarex.es/mats/11811/contenido/

En caso de no poder acceder al sitio, no te preocupes. ¡Mas adelante veremos a detalle cada caso en particular...!!!